基础会计原理

 

会计的定义
会计广泛应用程度使其自身定义也是相当多样的。本质上说,会计是对财务信息的管理,而这种信息往往以货币作为计量单位。因此,会计有着和其他管理系统相同的本质,其目的都是为决策者提供有价值的财务信息。我们每个个体也都将接触会计,比如在年末你会关注这一年的账户余额是多少。这既是在执行会计,但执行方式也是十分粗糙的,因为它屏蔽了现金流在这一期间内的变化情况,而好的会计必然能从中提取出关键的重要的信息。会计的基本职能就是核算与监督。具体地,核算是是对经济活动的财务信息进行定量计量,而监督则是按既定指标对经济活动进行审计。


会计假设
会计假设是指对若干与会计相关的元素做出的规范,它既是从事会计工作的基本依据,也是指定会计准则和会计制度的指导思想,因此也称之为会计核算的基本前提。主要会计假设包括如下四项。
(一) 会计主体假设。会计主体指会计核算所针对的各项经济业务所所属的企业。明确会计主体是执行会计核算的前提。(独立的)企业法人一般都可成为会计主体,反之则不然。
(二) 持续经营假设。该假设要求被核算的企业拥有进行持续、正常成产经营活动的能力。持续经营假设的反面就是破产或并购,这时需要按照专门会计方法和程序进行核算。
(三) 会计分期假设。会计分期假设是对持续经营假设,它在时间角度上对生成经营活动进行细分,对会计核算方法和结果都有重要影响。
(四) 货币计量假设。货币计量假设要求财务信息应以货币为计量单位。我国的《企业会计准则》规定人民币为记账本位币,任何会计核算最终都应以人民币表示。


会计的一般原则
会计原则放映会计工作方法、工作性质和工作准则。可以概括为3大类13小类。
(一) 衡量会计质量信息的一般原则
客观性原则
可比性原则(方法上的)
一致性原则(时间上的)
相关性原则(服务对象相关)
明晰性原则
及时性原则
(二) 确认和计量的一般原则
权责发生制原则(资产负债计量方法)
配比原则
历史成本原则(票据数据)
划分收益性支出和资本性支出原则
(三) 起修正作用的一般原则
谨慎性原则
重要性原则
实质重于形式原则


会计科目

简单地说,会计科目是在实际操作角度对会计要素进行细分后的结果。按照内部层次关系,会计科目继续分为总分类科目和明细分类科目两类。会计科目的设置既要结合会计对象的特点,也必须符合经济管理的需要。


账户

账户是根据会计科目设置的按指定格式实现会计核算的载体。现实中,账户通常由数据库管理软件实现,其中基本要素为一条条的记录。从层次上讲,账户可以分为总分类账户和明细分类账户。而以会计科目为标准,账户又可分为资产类账户、负债类账户、所有者权益类账户、成本类账户、损益类账户五类。两种分类方法存在一定程度的交叉。


复式记账法

 

记账方法主要有两类:单式记账法,一次交易数据只记录一次;复试记账法,一次交易数据被记录两次,大都出现在两个账户中。复试记账法好处在于它能更详细、更全面地反映生产经营信息,同时也有助于进行交叉校验,保证了数据的完整性。目前,复试记账法通常采用借贷记账法方式来实现。

(514) 946-2671

 

对于鞅的兴趣,源于一次讲座,源于对概率论的热爱,源于一些其他原因。

2018.4

标签:金融投资理论,基础数学理论

 

鞅的定义

鞅(martingale)的定义可以描述如下:

(1) 它是一个随机过程;

(2) 在对未来的预测方面,这种随机过程有着某种恒定的规律(预测值相对于当前值不变、上升、或者下降)。

根据我的经验,如果从直觉上对鞅一直都很陌生,那么后续的研究将会是很艰难的。因此,接下来给出一个很直观的例子。

如果一个网站每天的页面浏览数(pv)是一个鞅,那么对明天(或者以后)的pv的预测结果等于今天的实测结果。如果pv是一个下鞅,那么关于明天的预测结果大于今天的实测结果。如果pv是一个上鞅,那么关于明天的预测结果小于今天的实测结果。

在上述基础之上,我们有:

\( {{M}_{n}} \)是一个鞅,当且仅当

\[ E\left[ {{M}_{n+1}}-{{M}_{n}}|{{A}_{v,n}} \right]=0 \]

式中\( {{A}_{v,n}} \)是指截止到时刻为止的观测数据集,它能够使得\( {{M}_{n}}|{{A}_{v,n}} \)是一个确定的量,或者说不再具有随机性。类似地,下鞅和上鞅的数学表示分别为

\[ E\left[ {{M}_{n+1}}-{{M}_{n}}|{{A}_{v,n}} \right]>0 \]

以及

\[ E\left[ {{M}_{n+1}}-{{M}_{n}}|{{A}_{v,n}} \right]<0 \]


鞅的举例

1 独立随机变量的和

2 独立增量随机过程

3 杜布鞅

\[{{M}_{n}}=E\left[ X|{{A}_{v,n}} \right]\]

式中,\( X \)为随机变量,\( {{A}_{v,n}} \)为任意观测过程。

4 基于马尔可夫链的鞅

假设\( f\left( x,n \right) \)是满足如下条件的函数

\[f\left( x,n \right)=\sum\limits_{y}^{{}}{p\left( x,y \right)f\left( y,n+1 \right)}\]

式中\( p\left( i,j \right)=P\left( {{X}_{n+1}}=j|{{X}_{n}}=i \right)\)。这时

\[{{M}_{n}}=f\left( {{X}_{n}},n \right)\]

是鞅。

5 假设\( {{M}_{n}} \)是鞅,\( f\left( x \right) \)是凸函数,那么\( f\left( {{M}_{n}} \right) \)是下鞅,\( -f\left( {{M}_{n}} \right) \)是上鞅。


鞅的性质

根据定义,可以得到关于鞅的一些性质:

1 条件期望

\[E\left[ X \right]={{E}_{Z}}\left[ {{E}_{X}}\left[ X|Z \right] \right]\]

\[E\left[ X|{{A}_{1}} \right]=E\left[ E\left[ X|{{A}_{2}} \right]|{{A}_{1}} \right]\]

式中,\( {{A}_{1}}\subset {{A}_{2}} \)。

2 增减性

如果\( {{M}_{n}} \)是一个鞅,那么\( E\left[ {{M}_{n}} \right] \)是一个常量序列;

如果\( {{M}_{n}} \)是一个下鞅,那么\( E\left[ {{M}_{n}} \right] \)是一个递增序列;

如果\( {{M}_{n}} \)是一个上鞅,那么\( E\left[ {{M}_{n}} \right] \)是一个递减序列。

注意,这里的\( E\left[ {{M}_{n}} \right] \)并非是包含条件期望,但在性质证明时确实需要用到条件期望这一概念。

3 杜布分解定理

假设\( {{X}_{n}} \)是下鞅,那么可以对其做如下分解

\[ {{X}_{n}}={{M}_{n}}+{{Z}_{n}},\quad n\ge 1 \]

式中,\( {{M}_{n}} \)为鞅,\( {{Z}_{n}} \)为\( {{A}_{v,n-1}} \)可测的单调递增序列。并且,这种分解是唯一的。

证明:

可行性。令

\[ \begin{align}   {{Z}_{n}}=&{{Z}_{n-1}}+E\left[ {{X}_{n}}-{{X}_{n-1}}|{{A}_{v,n-1}} \right] \\    =&\sum\limits_{k=1}^{n}{E\left[ {{X}_{k}}-{{X}_{k-1}}|{{A}_{v,k-1}} \right]}  \end{align} \]

可知\( {{Z}_{n}} \)是单调递增序列。另一方面,

\[ \begin{align}  E\left[ {{X}_{n}}-{{Z}_{n}}|{{A}_{v,n-1}} \right]=&E\left[ {{X}_{n}}-{{Z}_{n-1}}-E\left[ {{X}_{n}}-{{X}_{n-1}}|{{A}_{v,n-1}} \right]|{{A}_{v,n-1}} \right] \\   =&E\left[ {{X}_{n-1}}-{{Z}_{n-1}}|{{A}_{v,n-1}} \right] \\  =&{{X}_{n-1}}-{{Z}_{n-1}}  \end{align} \]

可知\( {{M}_{n}}={{X}_{n}}-{{Z}_{n}} \)是一个鞅。

唯一性。\( {{X}_{n}} \)恒定的起点\( {{X}_{0}} \)决定了这种分解是唯一的。

■

4 正交性

引理:

\[ E\left[ M_{n}^{2}|{{A}_{v,n-1}} \right]-M_{n-1}^{2}=E\left[ {{\left( M_{n}^{{}}-M_{n-1}^{{}} \right)}^{2}}|{{A}_{v,n-1}} \right] \]

证明:

\[ \begin{align}  E\left[ {{\left( M_{n}^{{}}-M_{n-1}^{{}} \right)}^{2}}|{{A}_{v,n-1}} \right]= & E\left[ M_{n}^{2}|{{A}_{v,n-1}} \right]+M_{n-1}^{2}-2M_{n-1}^{{}}E\left[ M_{n}^{{}}|{{A}_{v,n-1}} \right] \\   =& E\left[ M_{n}^{2}|{{A}_{v,n-1}} \right]-M_{n-1}^{2}  \end{align} \]

■

引理:

\[E\left[ \left( {{M}_{n}}-{{M}_{k}} \right){{M}_{j}} \right]=0\]

或者

\[E\left[ \left( {{M}_{n}}-{{M}_{k}} \right)\left( {{M}_{j}}-{{M}_{i}} \right) \right]=0\]

证明:

\[\begin{align}  E\left[ \left( {{M}_{n}}-{{M}_{k}} \right){{M}_{j}} \right]= & \sum\limits_{v}^{{}}{E\left[ \left( {{M}_{n}}-{{M}_{k}} \right){{M}_{j}}|{{A}_{v,k}} \right]} \\   =& \sum\limits_{v}^{{}}{{{M}_{j}}E\left[ \left( {{M}_{n}}-{{M}_{k}} \right)|{{A}_{v,k}} \right]} \\   =& 0  \end{align}\]

■

推论:

\[E\left[ {{\left( {{M}_{n}}-{{M}_{0}} \right)}^{2}} \right]=\sum\limits_{k=1}^{n}{E{{\left( {{M}_{k}}-{{M}_{k-1}} \right)}^{2}}}\]


停时

停时(stopping time)是鞅理论中的另一个重要概念,它的定义为:

随机变\( T \)是停时,当且仅当\( \left\{ T=n \right\}|{{A}_{v,n}} \)是一个确定的量,或者说不再具有随机性。

注:

1)停时\( T \)是\( \left\{ 0,1,2,\cdots \right\} \)上的随机变量;

2)停时\( T \)可以不严格地表示为:\( ?\left\{ T=n \right\}\Leftarrow {{A}_{v,n}} \);

转换关系

\[ 1=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{I}_{T=k}}}+{{I}_{T\ge k}} \]

\[E{{M}_{T}}=E\left[ \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{X}_{T\wedge k}}{{I}_{T=k}}} \right]\]

\[\begin{align}  E{{M}_{T\wedge n}}=& E\left[ {{M}_{T\wedge n}}\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{{{I}_{T=k}}}+{{I}_{T\ge n}} \right) \right] \\   =& \sum\limits_{k=0}^{n}{E{{M}_{k}}{{I}_{T=k}}}+\sum\limits_{k=0}^{n}{E{{M}_{n}}{{I}_{T\ge n}}}  \end{align}\]

停时引理1

\[E{{M}_{T\wedge n}}=E{{M}_{n}}\]

证明:

\[\begin{align}  E{{M}_{T\wedge n}}=& \sum\limits_{k=0}^{n}{E{{M}_{k}}{{I}_{T=k}}}+\sum\limits_{k=0}^{n}{E{{M}_{n}}{{I}_{T\ge n}}} \\   =& \sum\limits_{k=0}^{n}{E{{M}_{n}}{{I}_{T=k}}}+\sum\limits_{k=0}^{n}{E{{M}_{n}}{{I}_{T\ge n}}} \\   =& E{{M}_{n}}  \end{align}\]

■

停时引理2

\[{{M}_{T}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{M}_{T\wedge n}}\]

证明:

step 1:

\[\begin{align}  \left| E\left[ {{M}_{T\wedge n}}-{{M}_{T}} \right] \right|=& \left| E\left[ \left( {{M}_{T\wedge n}}-{{M}_{T}} \right)\left( {{I}_{T\le n}}+{{I}_{T>n}} \right) \right] \right| \\   =& \left| E\left[ \left( {{M}_{n}}-{{M}_{T}} \right){{I}_{T>n}} \right] \right| \\   \le & E\left[ \left| {{M}_{n}}-{{M}_{T}} \right|{{I}_{T>n}} \right]  \end{align}\]

step 2:

当很大时,\( \left\{ T>n \right\} \)出现的概率极小。另一方面,\( \left| {{M}_{n}}-{{M}_{T}} \right|<\infty   \)。因此,

\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,E\left[ \left| {{M}_{n}}-{{M}_{T}} \right|{{I}_{T>n}} \right]=0\]

这意味着

\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{M}_{T\wedge n}}-{{M}_{T}} \right]=0\]

即

\[{{M}_{T}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{M}_{T\wedge n}}\]

■

停时定理

假设\( {{M}_{n}} \)是鞅,\( T \)是停时。那么在通常情况下,

\[E{{M}_{T}}=E{{M}_{0}}\]

尽管方程左右两边的形式非常相似,但它们有着很大的差别。方程的左边涉及两项随机因素,\( T \)和\( {{M}_{T}} \)。而方程的右边只涉及一项,那就是\( {{M}_{0}} \)。

证明:

\[\begin{align}  E{{M}_{0}}=& E{{M}_{n}} \\   =& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,E{{M}_{n}} \\   =& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,E{{M}_{T\wedge n}} \\   =& E{{M}_{T}}  \end{align}\]

其中,前两个等式来自于鞅的性质,第三个等式来自于停时引理1,第四个等式来自于停时引理2。

■


鞅在金融学中的应用

一些内容的另一种表达方式。

假设股票价格\( {{M}_{n}}\)是鞅。令\( {{H}_{n}}\)是\( n-1\to n \)时期内的股票持有量,那么时刻\( n \)的资产持有量

\[{{W}_{n}}={{W}_{0}}+\sum\limits_{k=1}^{n}{{{H}_{k}}\left( {{M}_{k}}-{{M}_{k-1}} \right)}\]

也是鞅。因此,\( {{H}_{n}}\)也被称作投资策略。

假设\( {{H}_{n}}=1\),并且\( T \)是性停时。这时

\[{{W}_{n}}={{M}_{T\wedge n}}\]

这意味着\( {{M}_{T\wedge n}}\)也是鞅。特别地,

\[E{{M}_{T\wedge n}}=E{{M}_{0}}\]

进一步,

\[E{{M}_{T}}=E{{M}_{0}}\]

这是因为

\[\begin{align}  E{{M}_{0}}=& E{{M}_{T\wedge n}} \\   =& E\left[ {{M}_{T\wedge n}}\left( {{I}_{T\le n}}+{{I}_{T>n}} \right) \right] \\   =& E\left[ {{M}_{T\wedge n}}{{I}_{T\le n}} \right]+E\left[ {{M}_{T\wedge n}}{{I}_{T>n}} \right] \\   =& E\left[ {{M}_{T}}{{I}_{T\le n}} \right]+E\left[ {{M}_{n}}{{I}_{T>n}} \right]  \end{align}\]

在\( n\to \infty \)这种情况下,\( p\left\{ T>n \right\}\to 0\)以及\( p\left\{ T\le n \right\}\to 1\)。因此,最终有

\[E{{M}_{0}}\to E{{M}_{T}}\]

令\( {{X}_{n}} \)是公平的iid的\( \pm 1 \)的投币结果。那么\( {{S}_{n}}={{S}_{0}}+\sum\limits_{k=1}^{n}{{{X}_{k}}}\)是鞅,\( T=\min \left\{ n:{{S}_{n}}\notin \left( a,b \right) \right\} \)是停时。进一步,\( {{M}_{n}}={{S}_{n}}-n\mu   \)也是鞅,其中\( \mu =E{{X}_{n}} \)。

瓦尔德方程

在\( ET<\infty  \)情况下,我们有

\[E\left[ {{S}_{T}}-{{S}_{0}} \right]=\mu ET.\]